Słownik
Odległość Mahalanobisa
Odległość Mahalanobisa – to miara odległości statystycznej stosowana przede wszystkim w analizach wielowymiarowych. W przeciwieństwie do odległości euklidesowej uwzględnia nie tylko różnice między wartościami poszczególnych zmiennych, ale również ich wariancje, kowariancje i wzajemne korelacje. Odległość Mahalanobisa pozwala określić, jak bardzo dana obserwacja odstaje od pozostałych przy jednoczesnym uwzględnieniu zależności występujących między wieloma zmiennymi. Wyrażona jest wzorem:
| D2 = (x − μ)T Σ−1 (x − μ) |
Gdzie:
x – wektor wartości badanej obserwacji,
μ – wektor średnich dla poszczególnych zmiennych,
Σ – macierz kowariancji zmiennych,
Σ−1 – macierz odwrotna do macierzy kowariancji,
T – transpozycja wektora.
Miara ta wykorzystuje macierz wariancji-kowariancji, dzięki czemu odległość jest oceniana względem rzeczywistej struktury danych. Jeżeli dwie zmienne są ze sobą silnie skorelowane, różnica występująca jednocześnie na obu z nich nie jest traktowana tak samo, jak gdyby zmienne były od siebie niezależne. Odległość Mahalanobisa uwzględnia również różnice w skali i zmienności poszczególnych zmiennych, dlatego nie wymaga ich wcześniejszej standaryzacji.
Jednym z najważniejszych zastosowań odległości Mahalanobisa jest identyfikacja wielowymiarowych obserwacji odstających. Obserwacja może nie być nietypowa pod względem żadnej pojedynczej zmiennej, ale może stanowić nietypową kombinację wartości kilku zmiennych. Taki przypadek może zostać wykryty właśnie na podstawie odległości Mahalanobisa.Miara ta znajduje zastosowanie również w analizie skupień, klasyfikacji oraz diagnostyce danych przed wykonaniem analiz wielowymiarowych. W przypadku wykrywania obserwacji odstających kwadrat odległości Mahalanobisa (D2) można porównywać z rozkładem chi-kwadrat przy liczbie stopni swobody odpowiadającej liczbie analizowanych zmiennych. Pozwala to przyjąć określony próg istotności statystycznej identyfikacji nietypowych przypadków, np. p < 0,001.
PRZYKŁAD DZIAŁANIA ODLEGŁOŚCI MAHALANOBISA
