Kurtoza
Kurtoza – często określana jako miara “spłaszczenia” lub “wysmukłości” rozkładu. Jest to jednak określenie błędne (Westfall, 2016), ponieważ jej wartość nie jest zależna od tego co dzieje się “na czubku” (tzn. blisko tendencji centralnej) rozkładu, a na jego “ogonie”. W rzeczywistości kurtoza jest więc miarą występowania wartości odstających.
Podobnie jak w przypadku skośności, wartość kurtozy jest wskaźnikiem tego w jaki sposób rozkład zmiennej zbliżony jest do rozkładu normalnego. W przypadku rozkładu normalnego, kurtoza powinna wynosić wartość równą 3, jednak wynik ten jest zazwyczaj standaryzowany poprzez odjęcie tej wartości i sprowadzenie kurtozy do zera dla ułatwienia testowania założenia o normalności rozkładu i taki też wynik się zwykle w analizach statystycznych raportuje.
Wzór na obliczenie wystandaryzowanej kurtozy:
gdzie:
n = liczba obserwacji
x = wartość pojedynczej obserwacji
M = średnia wyników badanej próbki.
Istnieją różne rodzaje kurtozy, które opisują różne charaktery rozkładów:
1. Leptokurtyczność – kurtoza jest dodatnia. Rozkład ma ogony, które są “cięższe” w porównaniu do tych w rozkładzie normalnym. Oznacza to, że istnieje większe prawdopodobieństwo wystąpienia wartości odstających
2. Mezokurtyczność – kurtoza jest równa zero. Rozkład ma ogony, które są zrównoważone w porównaniu do rozkładu normalnego. Jest to rozkład, którego kurtoza jest taka sama jak dla rozkładu normalnego.
3. Platykurtyczność – kurtoza jest ujemna. Rozkład ma ogony, które są “lżejsze” niż w rozkładzie normalnym. Oznacza to, że wartości skupiają się bliżej średniej, a ogony są mniej rozwinięte. Wskazuje to na brak występowania obserwacji odstających.
Ideę „ciężkości” i „lekkości” ogonów związaną z kurtozą zobrazowano na rysunku 1.
Rysunek 1
Przykłady rozkładów zmiennej Waga ze względu na kurtozę
Analiza wartości kurtozy, przy jednoczesnej analizie wartości skośności, jest jedną z metod oceny normalności rozkładu zmiennej, która może być uzupełnieniem lub alternatywą dla innych metod takich jak testy normalności rozkładu (np. Shapiro-Wilka lub Kołmogorowa-Smirnowa). Ocena normalności rozkładu pozwala nam zdecydować czy w analizach statystycznych możemy zastosować testy parametryczne, np. test t Studenta lub analiza wariancji. Brak spełnienia założenia o rozkładzie normalnym jest jedną z przesłanek wskazujących na ewentualną konieczność zastosowania testów nieparametrycznych.
Analiza skośności i kurtozy jako metoda testowania normalności rozkładu zmiennej ma istotną przewagę nad stosowaniem testów normalności rozkładu – wynik tych testów uzależniony jest od uzyskanej mocy statystycznej, która zależy m.in. od wielkości próby. W praktyce, przy względnie niewielkich oraz względnie dużych próbach wyniki tych testów są niemiarodajne (są zbyt lub za bardzo ‘czułe’). Wartości skośności i kurtozy nie są zależne od wielkości próby i z tego powodu ich analiza jest często bardziej wiarygodna niż posługiwanie się testami normalności.
„Reguła kciuka” dla oceny kurtozy jako miary normalności rozkładu zależna jest od tego jak oceniamy jakość naszej próby. Część badaczy uważa że kryterium granicznym jest kurtoza równa |2| (George i Mallery, 2021) – w takiej sytuacji rozkład dla którego (znormalizowana) kurtoza mieści się w granicach między -2 a 2 uznawać będziemy za pozbawiony obserwacji odstających, co wskazuje na to że jest on zbliżony do rozkładu normalnego. Jednocześnie, niektórzy autorzy deklarują, że próg ten można rozszerzyć nawet do wartości bezwzględnej |7| (Watkins, 2021).
Podsumowując, kurtoza jest miarą statystyczną pozwalającą ocenić kształt rozkładu zmiennej. Mierzy ona to jak bardzo wartości zmiennej są skupione wokół średniej w porównaniu z idealnym rozkładem normalnym. Analiza wartości kurtozy, wraz z analizą wartości skośności, jest jedną z metod oceny normalności rozkładu, która może być uzupełnieniem lub alternatywą w stosunku do innych metod takich jak testy normalności rozkładu.
Literatura:
George, D., Mallery, P. (2021). IBM SPSS statistics 27 step by step: A simple guide and reference. Routledge.
Watkins, M. W. (2021). A step-by-step guide to exploratory factor analysis with SPSS. Routledge.
Westfall, P. H. (2014). Kurtosis as Peakedness, 1905–2014.R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191–195.
