Wielkość próby–liczba obserwacji
Odchylenie standardowe–rozproszenie pojedynczych wyników
Błąd standardowy średniej–maleje wraz ze wzrostem n
Słownik
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe (zwykle określane skrótem SD od angielskiego standard deviation) – jest miarą rozproszenia wyników średniej arytmetycznej, ukazującą jak bardzo wartości w zestawie danych różnią się od średniej arytmetycznej tych danych. Odchylenie standardowe, tak samo jak i średnią arytmetyczną, możemy obliczyć tylko dla zmiennej o charakterze ilościowym.
Kolejne kroki obliczenia wartości odchylenia standardowego:
- Punktem wyjścia do wyliczenia wartości odchylenia standardowego jest obliczenie średniej arytmetycznej.
- Następnie, od każdej wartości posiadanej w zbiorze danych odejmujemy wartość średnią, otrzymując w ten sposób wartość różnicy między nimi (a zatem o tym o ile jednostek dany wynik różni się od średniej).
- Kolejno, każda z tych różnic jest podnoszona do kwadratu, po to żeby wszystkie uzyskane wartości były dodatnie; bez tego zabiegu część wartości byłaby dodatnich, a część ujemnych, co prowadziłoby do wzajemnego “znoszenia się” wyników.
- W kolejnym kroku, uzyskane w ten sposób wartości sumuje się.
- Następnie, uzyskany wynik dzieli przez liczbę obserwacji (w przypadku liczenia odchylenia standardowego w próbie zamiast w populacji zamiast n wykorzystuje się wartość n-1), co nazywamy wariancją.
- Na końcu, w celu powrotu to “oryginalnej” jednostki (w uproszczeniu – aby “odwrócić” zabieg podnoszenia wartości do kwadratu), z uzyskanego wyniku wyciąga się pierwiastek – taki właśnie wynik określamy odchyleniem standardowym.
Powyższe działania ujęte są we wzorze:
| s = |
|
Gdzie:
n – liczba badanych osób
Xi – to pojedynczy wynik osoby badanej
M – to średnia wyników w grupie
Średnia próbyM = –
Wyróżniona obserwacjaXᵢ − M = –
Odchylenie standardowes = –
Jak można łatwo zaobserwować, średnia wynosić może 25,24 punktów na skali pomiarowej dla 30 przebadanych osób, natomiast jedno odchylenie standardowe wynosi nieco ponad 3 punkty, a efekt ten wynika aktualnie z istnienia obserwacji odstającej która zawyża odchylenie całej grupy. Jeżeli przesuniemy wynik X bliżej środka, czyli wartości średniej (około 25 punktów), zobaczymy że odchylenie będzie stopniowo malało. Natomiast w praktyce nie mamy wpływu na wyniki osób, więc częściej posiłkujemy się drugim sposobem – zwiększeniem próby (n), im więcej zbadamy osób, tym niższy będzie wpływ obserwacji odstającej na odchylenie grupy. Powyższy przykład dowodzi, że odpowiednio dobrana wielkość próby stanowi lekarstwo dla wielu testów parametrycznych, które wymagają mniejszego rozproszenia wariancji .
Czytając powyższy opis łatwo zauważyć, że odchylenie standardowe nie może być interpretowane w oderwaniu od wartości średniej. Zastosowania odchylenia standardowego obejmują m.in. analizę danych, prognozowanie, modelowanie statystyczne, gdzie istotne jest zrozumienie stopnia zmienności w danych np. w testach t Studenta lub analizie wariancji. Jednak w praktyce odchylenie standardowe często używane jest razem z innymi statystykami, takimi jak średnia, mediana, kwartyle oraz inne statystyki opisowe aby uzyskać pełniejszy obraz rozkładu danych.
Odchylenie standardowe jako miara tendencji centralnej ma jednak swoje wady:
- Podatność na obserwacje odstające: Jedna lub kilka skrajnych wartości mogą znacząco wpłynąć na wartość odchylenia standardowego, zwłaszcza w przypadku małych zbiorów danych.
- Wrażliwość na rodzaj rozkładu: W przypadku rozkładów danych o skrzywionej formie, odchylenie standardowe może być mniej precyzyjne niż inne miary rozproszenia, takie jak ćwiartkowe odchylenie.
Podsumowując, odchylenie standardowe jest potężnym narzędziem w analizie danych pozwalające nam na ocenę typowego rozproszenia wyników wokół średniej, ale trzeba zachować ostrożność w jego interpretacji, zwłaszcza w przypadku obserwacji odstających i rozkładów, które nie są normalne.
